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O——表示机件连接处间隙 fT——表示扭转变形 dL——表示拉压变形
图1 开环控制伺服机构等效图
图2 输入输出传递特性
1 失动量的来源
失动量的大小在开环数控系统中直接影响机床控制精度，在闭环数控系统中过大的失动量还会对系统稳定性产生影响。如图1所示开环控制伺服进给系统，步进电机经齿轮Z1/Z2降速后与滚珠丝杠相联，丝杠螺母带动执行部件作直线移动。从理论上讲，步进电机的输入(转角q)与执行部件的输出(线位移d)之间的传递特性应为一连续线性关系(图2a)，即 d= it q 360° 式中q——步距转角，(°)/步
d——线位移，µm
i——传动比，i=Z1/Z 2
t——滚珠丝杠导程，mm
但因传递过程中受到齿轮副侧隙、连接件间隙、滚珠丝杠螺母副间隙、轴承间隙等常值系统性误差以及各传动元件的弹性变形(主要是滚珠丝杠弹性变形)和步进电机运行误差等因素的影响，导致上述输入输出传递关系变为迟滞环节(图2b)，即步进电机接受指令脉冲开始转动时，溜板并未移动，滞后dq。同样，当反向移动时，又需重新走完一个失动量后方能移动。 对于常值系统性误差所引起的失动量可以通过各类间隙消除机构和适当预紧得以解决。于是，传动系统刚度所引起的失动量便成了数控系统失动量产生的主要原因。2 进给系统传动刚 度对失动量的影响一般将滚珠丝杠螺母副和支撑丝杠的轴承在内的传动系统的综合拉压刚度称为滚珠丝杠副的传动刚度，主要由丝杠的拉压刚度KS、丝杠与螺母的接触刚度KN和支撑刚度KNR、丝杠轴承部件的支撑刚度KB和KBR等组成。 将滚珠丝杠的四种安装方式分两类情况讨论：
图3 一端止推安装方式力学模型
一端止推安装方式 对于一端止推、一端自由和一端止推、一端简支这两种安装方式，均可将其简化成如图3所示的弹簧质量系统力学模型。则该系统总传动刚度为 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 KL 2KB KBR KS KN KNR (1) KS= pd2E = pd2E X 1 4l 4L n 式中 d——滚珠丝杠小径，mm n——行程比 n= l L 可见，对于一端止推安装方式而言，执行部件(螺母)移动到行程最远点时刚度最低，即 KSmin= pd2E 4L 即此时按上式所求出的KL为最小值KLmin。
图4 两端止推安装方式力学模型
两端止推安装方式 对于两端止推和两端止推加向心的安装方式，均可将其简化为如图4所示的弹簧质量系统力学模型。 图中KS1、KS2与执行部件(螺母)所处工作位置有关，当螺母处于丝杠中间位置时有：KS1=KS2=2KS，此时系统总传动刚度KL也最小 1 = 1 + 1 + 1 + 1 KL 2KB 4KS KN KNR (2) 而 KS= pd2E ( 1 + 1 )= pd2E X 1 4 l L-l 4L n(1-n) 且当螺母处于丝杠中间位置时KS为最小： KSmin= pd2E L 按此所求出的 KL为最小值KLmin。 传动刚度所引起的失动量 Dd= F KLmin (3) 式中 F——轴向 总负载，N KLmin——对应安装方式下的最小传动刚度，N/µm
3 进给系统扭转刚度对失动量的影响
图5 图1的简化扭振系统
系统扭转刚度 将图1进给机构简化成如图5所示扭振系统，设轴Ⅰ和轴Ⅱ的扭转刚度分别为K1和K2，如只考虑弹性变形时，等效到滚珠丝杠轴Ⅱ上的系统等效扭转刚度KTL为 1 = 1 + 1 KTL K1(Z1/Z1)2 K2 (4) 系统扭转刚度所引起的失动量 DdT= t X M 2p KTL (5) M为系统折算到丝杠轴上的等效力矩： 
式中 Mi、ni—— 第i个转动部件的转矩和转速，N·m和r/min Fj、vj ——第j个移动部件的受力和速度，N和m/min nⅡ—— 滚珠丝杠轴的转速，r/min
4 进给系统 刚度所产生的总失动量
Sd=Dd+DdT一般情况进给系统扭转刚度所引起的失动量较小，约为系统拉压刚度所引起失动量的5%左右，常忽略不计。但当滚珠丝杠的小径和导程之比d/t小于4时，就需要考虑系统扭转刚度对失动量的影响。5 实例分析与计算在对某C616普通车床进行数控化改造时，将原有Ø30mm纵向进给丝杠改换为汉江机床厂生产的Ø32mm滚珠丝杠，支撑型式按原有不变(一端止推，一端向心)。并已知工作台重80kg，最大轴向切削力(含导轨摩擦力)Fx=2100N，工作进给速度v=0.9m/min，快速进给速度vmax=3m/min，工作行程750mm，丝杠导程t=6mm，丝杠支撑跨距L=1400mm，丝杠轴承轴向刚度KB和支承刚度KBR分别为500N/µm和800N/µm，丝杠螺母接触刚度KN=1000N/µm，螺母支承刚度KNR=600N/µm，减速齿轮Z1/Z2=32/40。所选三相六拍步进电机的步距角q=0.75°/步，脉冲当量d=0.01mm/脉冲，最高工作频率f=5kHz。 运用本文所述理论与 方法分析计算如下：
传动刚度所引起的失动量 查滚珠丝杠说明书得滚珠直径DW=Ø3.969mm，故可计算滚珠丝杠小径d=27.91mm。按式(1)得 KSmin= pd2E = 3.14X27.912X2.1X105 4L 4X1400 KLmin=63.2 N/µm 则Dd=F/KLmin=2100/63.2=33.2µm 扭转刚度所引起的失动量 轴的扭转刚度 KT= pd4G 32L 式中 G——钢的剪切模量，8X104N/mm2 d——受扭轴直径(滚珠丝杠为小径)，mm L——受扭轴长度，mm 按步进电机和齿轮1的结构设计可知轴Ⅰ的直径和扭转长度为Ø11X200mm，即 K1=3.14X114X8X104/(32X200)=575N·m滚珠丝杠轴Ⅱ的最小扭转刚度为 K2min=3.14X27.914X8X104/(32X1400)=3285N·m对应于KL最小值，即工作台处于行程中间位置时的丝杠扭转刚度为 K2中间=2K2min=6570N·m按式(4)可得：KTLmin=331N·m，KTL中间=348N·m，两者相差不大。则 
总失动量 Sd=Dd+DdT=33.2+5.5=38.7 µm可见，按以上设计过程进给系统刚度所引起的失动量接近4个脉冲当量，其中因d/t=27.91/6=4.65，略大于4，故扭转刚度所产生的失动量5.5µm可忽略不计，但若将导程t改为12mm时，d/t=27.91/12＜4，扭转刚度所产生的失动量便为22µm。 若将原有一端止推，一端向心的支承方式改为两端止推安装方式后，即可大大减小失动量。此时按式(2)有 KSmin=4KSmin=367 N/µm
KLmin=230 N/µm则：Dd=F/KLmin=2100/230=9.1 µm
尽管在设计和改造数控机床时所选用的滚珠丝杠直径比原有丝杠直径大，但因刚度不足而产生较大失动量，使机床加工精度和定位精度都受到严重影响。但是在不同的支承形式下，其情况就会有很大变化。因此，在设计、改造数控机床及其它高定位精度设备时，应特别注意滚珠丝杠的支承形式。
