找茬法证明二元函数在某点不存在极限
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'第一篇、二元函数极限的求法和极限不存在的判断
找茬法证明二元函数在某点不存在极限
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高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院
唐新华
［摘要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。［关键词］二元函数极限二重极限引言
二元函数极限定义[1]设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某空心邻域有定义，如果对于任意给定的正数ε>0，总存在正数δ使得当0 恒有f(P)-A<ε，称常数A为函数z=f(x,y)当P(x,y)趋于P0(x0,y0)时的极限。 记为： limx→xf(x,y)=A或limP→Pf(P)=A00 x→y0 为区别二元函数极限与一元函数极限，称二元函数极限为二重极限。 教材中并没有给出二元函数极限的求法，下面结合教学过程给出二重极限的求法和判断二重极限不存在的方法。 一、求二元函数极限的方法1、若能够事先看出极限值，则可以用ε-δ方法证明，直接写出二元函数的极限值 例1、求极限limx4+y4 x→x0 x→y0 分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小， 故极限应为0。定义证明：坌ε>0，因为x4+y4x4y4 -0≤+≤x2+y2，故要使x4+y4姨 ，则x4+y4-0<ε只要取δ=-0≤x4+y4 ≤x2+y2≤ε+ε<ε，故极限为0。2、利用初等函数的连续性和极限的四则运算性质求二元函数的极限 利用函数的连续性求函数的极限时，注意保证函数在P0(x0,y0)处有定义，这样就可以把求函数在P0(x0,y0)点处的极限转化为求函数在P0(x0,y0)处的函数值f(P0)。 例2、求二元函数的极限limx-xy+3x→0y→1 分析：有理函数x-xy+3在P0(0,1)点连续，根据连续函数的性质 极限等于在这一点处的函数值）知极限为函数在P0(0,1)处的函数值-3。 3、使用迫敛性（两边夹）法则求二元函数的极限 迫敛性是求一元函数极限的有力方法，对于二元函数极限也有类似的性质：设函数f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域U(p0)有定义且同时满足： （1）g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)（2） limP→Pg(P)=limh(P)=A0 P→P0 则函数limP→Pf(P)=A。使用迫敛性求二元函数的极限，关键是经过适当 放缩，构造出同时满足上述两个条件的g(x,y)和h(x,y)。 例3、求二元函数的极限limsin(x 2 y+y4)x→0y→0 分析：对于上述二元函数当(x,y)→(0,0)时，分子、分母极限都是零， 故上述极限是0型。注意到对于充分小的变量x有sinx≤x，故sin(x2y+y4)≤x2y+y4， 原函数满足不等式0≤sin(x2y+y4)x2y+y4 ≤。 上面不等式的左端为0，根据二元函数的迫敛性：如果不等式的右 端的极限也是0， 则函数的极限为0。x2y+y4≤x2y+y4 ≤y+y2故当(x,y)→(0,0)时极限 为0。 令g(x,y)=0，h(x,y)=y+y2，由迫敛性知，二元函数的极限为0。4、利用极坐标变换求二元函数的极限 当二元函数中含有x2+y2项时， 考虑用极坐标变换：x=ρcos(θ)，y=ρsin(θ)通过综合运用恒等变换、不等式放缩等方法将二元函数f(x,y)转化为只含有参ρ的函数g(ρ)，进而求二元函数的极限。 —４５４— 例4、计算二元函数的极限lim(x2+y2→(0,0))sinx+y (x,y)分析：极限中的二元函数含有x2+y2，考虑二元函数的极坐标变换 x=ρcos(θ)，y=ρsin(θ)，使得0≤(x2+y2)sinx+y(sinθ+cosθ) x2+y2=ρ2sinρ ≤ρ2 由于函数的左端不含未知数而右端只含有一个未知数ρ，对经过放 缩后的函数利用迫敛性有0≤lim(x2+y2)sinx+y ≤limρ→0 ρ2ρ→0=0 在运用极坐标变换时注意，当利用极坐标变换时经过初等变换后 的函数满足f(x,y)-a≤g(ρ)→0用迫敛性得函数的极限为a， 若化简后的函数为g(ρ,θ)，但对于某个固定的θ0，g(ρ,θ0)→0，仍不能判断函数的极限是a。 5、利用对数变形求二元函数的极限一般地，对于二元幂指函数，通常采用对数恒等变形的方法求二元函数的极限。 例5、求二元函数的极限lim(x2+y2) x2y2 (x,y)→(0,0) 分析：通过综合运用对数恒等变形、不等式放缩、换元等方法求极限 2x2y2x2y2ln(x2+y2) xy2x2+y2ln(x2+y2) (x,y)lim→(0,0) (x2 +y2 )=(x,y)lim→(0,0) e =(x,y)lim→(0,0) e 由于0≤x2y2 ≤(x2 +y2)2 ≤x2+y2→0，令x2+y2=t则2x2y2 (x,y)lim→(0,0) (x2+y2)ln(x2+y)=limt→0 tlnt=0,故(x,y)lim→(0,0) (x2+y2)=e0=1。 6、将二元函数转化为重要极限的形式，利用重要极限求二重极限x2 例6、计算lim≤1+ 1x→∞ y→a x 分析：首先经过恒等变形凑成重要极限的形式： limx→∞ x≤1+1≤x xy→a x 利用一元函数重要极限得lim x→∞xx1+1≤x y→a x x=e7、先分子、分母有理化再化简求极限例7、计算二元函数的极限xy (x,y)lim →(0,0) 姨-1 分析：对二元函数分母有理化并求极限得lim xy+1)(x,y)→(0,0) 姨-1=(x,y)limxy(→(0,0) =(x,y)lim→(0,0)姨+1=2 二、判断二元函数的极限不存在 二元函数的海涅归结原理：(x,y)lim→(xf(x,y)=a圳坌点列{Pn(x,y)}若Pn→0,y0) P0，且Pn≠P0，则极限Plimf(Pn)=a n→P0 由二元函数的海涅归结原理知，如果二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)点处 的极限为a，是指当函数定义域内的点P(x,y)以任意路径趋于定点P0(x0,y0)时，二元函数f(x,y)的极限都是a。因此，若存在定义域内的两条不同 的路径，当P(x,y)沿不同的路径趋于点P0(x0,y0)时， 函数f(x,y)有不同的极限或某一条路径下的极限不存在，则f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限不存在。常用这种在定义域内取不同的路径的方法证明函数在某一点处的极限不存在。 1、在函数定义域内取两条不同的路径，若函数沿着某条路径极限不存在，则二元函数的极限不存在 例1、 证明二元函数f(x,y)=2xx当(x,y)→(0,0)时极限不存在。证明：通过上述分析取路径y=-x2时，当x趋于零时变量y的值也趋于零，把y=-x2代入有lim2xx(x,y)→(0,0)=limxx→0极（下转第４５７页） （ 科技信息 高校理科研究 能够正常运行的情况下干扰最小。 （２）降低产生干扰基站的发射功率 通过测试或者话务统计确定产生了较强干扰的基站，可以降低该基站的发射功率来减小它对别的基站的干扰，在此应该注意，不能一味地为了减少干扰而过分降低功率，降低功率要保证该小区内的手机可以正常使用，在网络调整中我们也曾出现过基站功率过低而导致小区中建筑物内信号较弱，手机无法正常使用的现象，在网络调整中我们要尽量避免此类发生；另外，要求基站还要可以覆盖网络规划中的覆盖范围。 （３）ＤＴＸ（非连续发送）的设置 ＤＴＸ方式指用户在通话过程中，话音间歇期间系统不传送信号的过程。此功能包括上行ＤＴＸ和下行ＤＴＸ。对于下行ＤＴＸ，若基站支持该选项，则建议使用该功能。对于上行ＤＴＸ，根据实际情况而定，上行ＤＴＸ的使用有两点好处：一是有效地降低了无线信道的干扰；二是ＤＴＸ的应用可以大大地节约移动台的功耗。 （４）跳频功能的使用 根据ＧＳＭ规范和理论分析表明，跳频可以改善空间的频谱环境，提高整个网络的通信质量，在运用跳频功能时，建议先在部分地区作实验后再推广，我省网络中，跳频功能打开后，如果该基站传输断或停电，基站重新启动后跳频并不会自动打开，所以每次在基站重新启动后都要人工打开其跳频功能。 在日常维护中，我们可以通过每个月的ＣＱＴ拨打测试了解各个地方的实际网络质量，并可以对重点地区进行针对性的了解；可以通过路测分析测试路线上各点的信令协议，了解网络的干扰情况；通过ＯＭＣ的 控制信道的完好率、拥塞率等情况。话务统计分析可以得到业务信道、 这一切都给我们的网络优化提供了有效的指导，使我们的网络可以更好地为用户服务。 参考文献［１］韩斌杰．《ＧＳＭ原理及其网络优化》．机械出版社，２００１年７月 通时的ＴＣＨ和ＳＤＣＣＨ的比例采用的是统一的规范，可以根据各个基 站的不同情况加以调整。 （３）调整基站覆盖范围 通过调整基站覆盖范围可以达到调整话务量的效果，改变天线的俯仰角或调整基站的发射功率都可以调整基站的覆盖范围，对于话务量较高的地区，可以减小天线的仰角或降低基站的发射功率，从而达到减小基站覆盖范围的目的。 （４）修改切换参数 对于话务量较高的小区，我们可以检查看该小区的临近小区中有无不忙的小区，如果有的话，可通过改变切换参数使得该小区可以分担较忙小区的话务量。例如，在网络中，手机需要接入网络时，其接收电平必须大于一个门限电平，即手机允许接入的最小接收电平（ＲＸＬＥＶ＿ＡＣＣＥＳＳ＿ＭＩＮ或简称ＲＸＡＭ），可以降低不忙小区的ＲＸＡＭ，提高较忙小区的ＲＸＡＭ，使得手机可以比较轻松地切换入不忙小区的信道，而切入较忙小区的信道则比较困难，从而起到减轻较忙小区的话务压力的作用。 （５）增加微蜂窝 对于以上方法都解决不了而该地区话务量又高居不下，可以通过在该区域增加微蜂窝来解决。 ２．干扰引起手机难打及其解决方案 目前在城市中，基站的密度越来越大而供我们使用的频率却远远不够，这样我们为了增加系统的容量采用了一种称之为频率复用的技术，但是，在这种技术中由于在不同基站的不同小区中重复使用了同一频率，从而会产生同频干扰；另外，在一个小区的临近小区中，可能存在与该小区工作频率相邻近的频率，这样的话将会产生另外一种干扰———邻频干扰。这两种干扰对于手机的通话质量有着很大的影响，在网络中应该尽量将其减小。 在干扰比较严重的地区可以采用以下几种方法来减少干扰：（１）调整网络频率规划 由于规划不当可能会引起同邻频干扰，对于这一点，可以在尽量少地变动网络的前提下，调整部分基站部分小区的频率配置，使得网络在（上接第４５４页）限不存在，故二元函数的极限不存在。 2、在函数的定义域内取两条不同的路径，若函数沿着这两条路径趋于极限点时，极限存在但是不相等，则二元函数的极限不存在 22 例2、证明：二元函数f(x,y)=x-y当(x,y)→(0,0)时极限不存在。 证明：在定义域内取y=2x和y=3x两条路径，满足(x,y)→(0,0)。当沿 2222 路径y=2x趋于原点时有极限limx-y=limx-4y=-3；但是当沿 (x,y)→(0,0)x→02222 路径y=3x趋于原点时有极限limx-y=limx-9y=-4。函数沿着 (x,y)→(0,0)x→0上述两条路径极限存在但是不相等，故二元函数在原点处的极限不存在。 当二元函数沿着y=kx趋于极限点时求出的极限与k的取值有关，则二元函数的极限不存在（上面只是分别取k=2和k=3时的结论）。此法对于判断有理函数的二重极限不存在一般来说是比较有效的，但是也会遇到特殊情况：虽然沿任意直线方向函数趋于同一个常数，然而二元函数的极限仍可能不存在，这就要考虑其他方法:例如函数f(x,y)=x3y，虽然当点(x,y)沿着任意直线y=kx(k≠0)趋于(0,0)时的极限都存在且都为0，但是仍不能说明此二元函数的极限存在。原因是当函数沿（上接第４５５页）能上都有许多相似之处，两者氨基酸约82%相同，且分享相同的胞膜受体，并且大多数研究报道TNFa基因态性与乙肝有密切关联，国内对TNF-β基因多态性与乙肝的相关性研究甚少。 因此，本文应用套式PCR和AS-PCR法探讨新疆地区维吾尔族人 SNP804多群TNFβ-804基因多态性与乙肝患者的相关性。结果表明： 态性位点C/C基因型和C/A+AA基因型频率在病例组为77%和23%,正常对照组为88%和12%,两组间基因型和等位基因频率分布差异有 ）,慢性乙肝组的A等位基因频率明显高于对照组,说明显著性（p＜0.05 A等位基因是新疆维吾尔族的易感基因。推测该位点单个核苷酸的改 使带有A等位基因的乙肝感染者在病变(C→A)可影响TNF-β的产生， 毒等基因刺激下，易产生过高水平的血浆TNF-β，导致过强的免疫应答及炎症反应，致肝细胞严重损伤甚至大量肝细胞坏死,最终导致慢性乙型肝炎的发生。 乙肝是一种由遗传、机体免疫和环境因素共同作用所致的复杂的感染性疾病，关于TNF-β基因多态性在肝炎的发生、发展中的作用还必须进一步的研究,为预防乙肝发展为肝硬化提供有利依据。 x3y=limkx6=k(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)这与k的取值有关，因此，二元函数的极限不存在。 3、利用二重极限和累次极限的关系判断二重极限不存在 若二元函数的两个累次极限存在但是不相等，则二元函数的二重极限不存在。例如已知上述例2的二重极限不存在，下面用两个累次极限存在但不相等说明例2中的二重极限不存在。 222 x2-y2=limlimlim首先累次极限limlimx-y=lim-y=-1，其次y→0x→0x→0x→0y→0y→0 2 x=1，二元函数的两个累次极限都存在但是不相等故二元函数的极限不存在。 文中给出了几种常用的二元函数极限的求法，对于二元函数的极限还有如：利用二重积分的定义、洛比达法则、无穷小代换、泰勒展开等 [2] 方法。对于具体题目要注意对上面几种方法的综合运用。函数的极限lim曲线y=kx3趋于(0,0)时， 参考文献 ［１］吴赣昌．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２００６［２］马顺业．数学分析研究［Ｍ］．济南：山东大学出版社，１９９６ 参考文献［１］ＣａｎＡＪ，ＤｏｎａｌｄｓｏｎＰＴ．Ｇｅｎｅｔｉｃｓｕｓｃｅｐｔｉｂｉｌｉｔｉｅｓｆｏｒｉｍｍｕｎｅｅｘｐｒｅｓ－ｓｉｏｎａｎｄｌｉｖｅｒｃｅｌｌｉｎｊｕｒｙｉｎａｕｔｏｉｍｍｕｎｅｈｅｐａｔｉｔｉｓ［Ｊ］．ＩｍｍｕｎｏｌＲＥＶ，２００５：１７４：２５０－２５９． ［２］Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎａｎｄｔｒｅａｔｍｅｎｔｐｒｏｇｒａｍｏｆｔｈｅｖｉｒａｌｈｅｐａｔｉｔｉｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓ，２００６，１９：５６－６２． ［３］ＪｉａｎｇＳｈａｎ，ＸｉｅＱｉｎｇ．ｅｔａｌ．ＴｈｅｒｅｌｅｖａｎｃｅｏｆｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｂｅｔｗｅｅｎｃｈｒｏｎｉｃｖｉｒａｌｈｅｐａｔｉｔｉｓａｎｄＨｕｍａｎＧｅｎｏｍｅ［Ｊ］．ＦｏｒｅｉｇｎＭｅｄｉｃａｌｅｐｉｄｅｍｉｏ－ｌｏｇｉｃａｌｓｔｕｄｙｏｆｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓｄｉｓｅａｓｅｓｖｏｌｕｍｅｓ，２００２，２９：２６０－２６２． ［４］ＣｚａｊａＭＴ，ＷｅｉｎｅｅｒＦＲ．ＦｌａｎｄｅｎｓＫＳ．ｅｔａｌ．Ｉｎｖｉｔｒｏａｎｄｉｎｖｉｖｏａｓｓｏ－ ［Ｊ］．ＪｃｅｌｌＢｉｏｌ，ｃｉａｔｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇｇｒｏｗｔｈｆａｃｔｏｒ－β１ｗｉｔｈｈｅｐａｔｉｃｆｉｂｒｏｓｉｓ １９８９，１０８：２４７７－２４８７． ［５］林菊生，程元桥，田德英等．ＨＬＡＤＲＲ－１和肿瘤坏死因子α基因多态性与肝硬化的遗传易感性［Ｊ］．中华内科杂志，２００２（１２）：８１８－８２１． —４５７— 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 编号 学士学位论文 二元函数极限存在的判别法 学生姓名：古丽加玛丽·图拉克 学号： 系部：数学系 专业：数学与应用数学 年级：2008-3班 指导教师：木台力甫·努尔 完成日期：年月 摘要 极限方法是研究函数的主要方法之一。极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。 关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。 I 目录 摘要...............................................................I 引言...............................................................1 1.二元函数极限的基本概念...........................................1 2.二重极限与累次极限之间的关系.....................................4 2.1关系1......................................................4 2.2关系2......................................................4 2.3关系3（定理1）............................................5 3.二元函数极限存在的充要条件.......................................6 4.有关极限存在的结论...............................................9 4.1结论1......................................................9 4.2结论2......................................................9 4.3结论3.....................................................11 4.4结论4.....................................................15 总结..............................................................19 参考文献..........................................................20 致谢..............................................................21II 引言 二元函数的极限是在一元函数的极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式，这是这两者的最大的区别。极限是数学分析中非常重要的概念之一，也是比较难理解和掌握的知识，特别是二元函数的极限。极限的基本思想自始至终对解决分析中面对的问题起关键的作用。 对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定任意方向的都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(x,y)不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后对复杂的二重极限计算，就能简便。 下面我介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限，二元函数极限存在的一些方法。 1.二元函数极限的基本概念 定义：设函数f(x,y)在区域D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得于D内且适合不等式,∀(x,y)∈D有 当0 记作：limf(x,y)=A或f(x,y)→A(x,y)→(x0,y0).x→x0y→y0 例1:证明： (x,y)→(2,1)lim(x2+xy+y2)=7 1 证明：x2+xy+y2-7=(x2-4)+xy-2+(y2-1)= =(x-2)(x+2)+(x-2)y+2(y-1)+(y-1)(y+1) ≤x-2x+2+y+y-y+3，先限制定在点（2,1）的δ=1的方领域(x,y)x-2<1,y-1<1上讨论，于是有y+3=y-1+4≤y-1+4<5{} x+y+2=(x-2)+(y-1)+5≤x-2+y-1+5<7. 所以x2+xy+y2-7≤7x-2+5y-1<7(x-2+y- ⎧ε⎫设ε为人给的正数，取δ=min⎨1,⎬，则当x-2<δ,y-<δ,(x,y)≠(2,1)⎩14⎭ 时，就有x2+xy+y2-7<7.2δ=14δ<ε; 即lim(x2+xy+y2)=7.(x.y)→(2,1) ⎧x2-y2 (x,y)≠（0,0）⎪xy22例2.f(x,y)=⎨x+f(x,y)=y ⎪0(x,y)=(0,0)⎩ 证明：(x.y)→(0,0)limf(x,y)=0. 证：对函数的自变量作极坐标变换x=rcosϕ,y=rsinϕ这时(x,y)→(0,0)等价于任何ϕ都有r→0，由于 x2-y2r2cos2ϕ-r2sin2ϕf(x,y)-0=xy2-0=rcosϕ.rsinϕ22222x+yrcosϕ+rsinϕ 111=r2.sin2ϕ.cos2ϕ=r2sin4ϕ≤r2244 2 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 科技信息 高校理科研究 二元函数榴限的求法和极限不存在Ｂｇ；ＸＵ断 山东政法学院唐新华 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 引言 二元函数极限定义Ⅲ设函数ｚ－－＇ｆ（ｘ，ｙ）在点Ｐｏ（ｘｏ，ｙｏ）的某空心邻域有定义。如果对于任意给定的正数ｅ＞Ｏ，总存在正数８使得当ｏ＜ＩＰＰｏ＂、／—（ｘ－ｘｏ）２＋—（ｙ－ｙｏ）２＜８时，恒有Ｉ“Ｐ）一Ａ Ｉ＝Ｉ＜８，称常数Ａ为函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）当 Ｐ（ｘ，ｙ）趋于蹦】【ｏ’ｙ０）时的极限。 记为：ｌｉｒａｆ（ｘ，ｙ）－Ａ或ｌｉｒａｆ（Ｐ）＝Ａ ． ＾Ｐ呷． ｔ—’’ｈ 为区别二元函数极限与一元函数极限，称二元函数极限为二重极 限。 教材中并没有给出二元函数极限的求法，下面结合教学过程给出二重极限的求法和判断二重极限不存在的方法。 一、求二元函数极限的方法 １、若能够事先看出极限值，则可以用８－６方法证明，直接写出二元函数的极限值 例１，求极限ｌｉｍ霉《 ｒ・ｈ ｘ．＋Ｖ。 分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小， 故极限应为ｏ。定义证明：Ｖ８＞ｏ，因为｛舞－ｏｌ≤ｌ主争Ｉ．４－ｌｉ争ｌ 《ｘ２咿，故要使ｌ；一４＋广ｙ４ｏ ｌ＜ｇ只要取８＝仃，则ｌ筹＿ｏｌ《ｌｉ．－Ｉ＋ｌ寿Ｉ≤ｘＶ≤｝＋｝＜８，故极限为ｏ。 ２、利用初等函数的连续性和极限的四则运算性质求二元函数的极 限 利用函数的连续性求函数的极限时，注意保证函数在Ｐｏ（ｘｏ，ｙｏ）处有定义，这样就可以把求函数在Ｐｏ（ｘｏ，ｙｏ）点处的极限转化为求函数在蹦轴ｙｏ）处的函数值ｆ（Ｐｏ）。 例２、求二元函数的极网ｉｍｒ呻ｏ＿ｙ十）珂—ｙ １竺￥丝了 ｒ－１ 分析：有理函数｛譬笋‰在Ｐｏ（０３）点连续，根据连续函数的性质 （极限等于在这一点处的函数值）知极限为函数在呻，１）处的函数值．３。 ３、使用迫敛性（两边夹）法则求二元函数的极限 迫敛性是求一元函数极限的有力方法．对于二元函数极限也有类似的性质：设函数ｆ（ｘ，ｙ）在Ｐｄｘｏ，ｙｄ的邻域ｕ（ｐｏ）有定义且同时满足： （１）ｇ伍，ｙ）≤ｆ（ｘ，ｙ）≤ｈ（ｘ，” （２）脚ｇ（Ｐ）＝？嚣ｈ（Ｐ）＝Ａ 则函数ｌｉｍ“Ｐ）＝Ａ。使用迫敛性求二元函数的极限，关键是经过适当放缩，构造出同时满足上述两个条件的ｇ（ｘ，ｙ）和ｈ（ｘ，ｙ）。 例３、求二元函数的极限ｌｉｍ型霉）笔．ｎ ｔ－－．０． ｘ。＋ｙ． ｒ＿０ 分析：对于上述二元函数当（ｘ，ｙ卜巾，Ｏ）时，分子、分母极限都是零，故上述极限是昙型。． 原函数满足不等式ｏ≤Ｉ帮Ｉ≤Ｉ鬻｝。 注意到对于充分小的变量ｘ有ＩｓｉｎｘＩ≤Ｉｘ Ｉ，故８ｉｎ的＋卵≤ｘ２ｙ＋广， 上面不等式的左端为０，根据二元函数的迫敛性：如果不等式的右端的极限也是Ｏ，则函数的极限为０。 等≤ｌ舞ｌ＋Ｉｉ争ｌ≤Ｉｙ Ｉ＋Ｉｙ２ Ｉ故当㈣—（０＇ｏ）时极限 为仉 令如，ｙ）－－－ｏ，ｈ（ｘ＇Ｙ）＝ＩＹＩ＋Ｉｙ２Ｉ，由迫敛性知，二元函数的极限为０。４、利用极坐标变换求二元函数的极限 当二元函数中含有ｘＶ项时。考虑用极坐标变换：ｘ＝ｐｃｏｓ（ｏ），ｙ＇－－－ｐｓｉｎ（Ｏ） 通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数ｆ（ｘ，ｙ）转化为只含有参Ｐ的函数ｇ【ｐ），进而求二元函数的极限。 一８２一 万方数据 雄删，ｙ＝ｐｓｉ删，始ｏ≤Ｉ㈣ｓｉｎ舞ｌ＝Ｉｐ砺学Ｉ≤ｐ２ 例４、计算二元函数的极限毋‰（，“力ｓｉｎｘｘ２＋＋ｖ２ｙ 分析：极限中的二元函数含有ｘ２＋ｙ２，考虑二元函数的极坐标变换 由于函数的左端不含未知数而右端只含有一个未知数ｐ，对经过放 缩后的函数利用迫敛性有ｏ≤ｌ粤竹妇８ｉｎ季争Ｉ≤粤ｐ２＝０ 在运用极坐标变换时注意，当利用极坐标变换时经过初等变换后的函数满足Ｉｆ（ｘ，ｙ）一ａＩ≤ｇ（ｐ卜＋０用迫敛性得函数的极限为ａ，若化简后的函数为ｇ慨０），但对于某个固定的Ｏｏ，ｇ缸Ｂ沪加，仍不能判断函数的极 限是ａ。 ５、利用对数变形求二元函数的极限 一般地，对于二元幂指函数。通常采用对数恒等变形的方法求二元 函数的极限。 例５、求二元函数的极限，ｌ鲤．（冉力婶《＂卜１帕期 分析：通过综合运用对数恒等变形、不等式放缩、换元等方法求极 限 由于ｏ≤兰等《鳟≤ｘ２＋ｙⅦ，令ｘ～ｙ备则 ｌｉｍ陋妫开：ｌｉｍｅＩ州也ｌｉｍｅ爵蛐㈣ ｘ‘＋ｖ． ｘ斗ｖ． ’ ’ “ｌ，Ｍｉｍ（ｘＺ＋ｙＺ）ｌｎ（ｘⅥ２恸恤如，故息∞（加下’驰ｌ。 ６、将二元函数转化为重要极限的形式。利用重要极限求二重极限 ｒ １～Ｉ．， 例６，＇ｈｔ＇算ｌｉｍ（１＋÷１ 分析：首先经过恒等变形凑成重要极限的形式：慨【（１＋｝）１】”利用—元函数重要极限得慨［（１＋｝）‘】”≈ ７、先分子、分母有理彩导化简求极限 例７、计算二元函数的极限ｌｉｍ—：型一 时“ｏｌｏ）Ｖｘｙ＋ｌ—１ 分析：对二元函数分母有理化并求极限得 “—‘ｏ呻、／ｘｙ＋ｌ－１ｌｉｍ—Ｊ哩一＝ｌｉｍ—ｘｙ（—Ｖ—ｘ７ｙ＋＿ｌ＋１）＝ｌｉｒａ、／再丁＋１＝２ ｋｎ—＋∞功 ｘＹ＋ｌ—ｌ¨卜帅二、判断二元函数的极限不存在 二元函数的海涅归结原理：！ｉｍｆ（ｘ，ｙ）＝咐Ｖ点列ｆＲ似ｙ）Ｊ若Ｐｌ＿， Ｐｏ，且Ｐ＿≠Ｐｏ，则极限ｌｉｍ“黝＝ａ 由二元函数的海涅归结原理知．如果二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在蹦砘ｙｏ）点处的极限为ａ．是指当函数定义域内的点Ｐ（ｘ，ｙ）ｌ；Ａ任意路径趋于定点蹦孙ｙｏ）时，二元函数ｆ（ｘ，ｙ）的极限都是ａ。因此，若存在定义域内的两条不同的路径，当Ｐ（ｘ，ｙ）沿不同的路径趋于点Ｐｏ（ｘ“ｙｄ时．函数ｆ（ｘ，ｙ）有不同的极限或某一条路径下的极限不存在。则ｆ（ｘ，ｙ）在点蹦‰ｙ０）的极限不存在。常用这种在定义域内取不同的路径的方法证明函数在某一点处的极限 不存在。 ｌ、在函数定义域内取两条不同的路径，若函数沿着某条路径极限不存在，则二元函数的极限不存在 例１、证明二元函数ｆＫ护剑｝堕当ｘ，ｙ卜叩＇ｏ）时极限不存在。 ｘ—ｙ 证明：通过上述分析取路径ｙ＝－ｘ２时。当ｘ趋于零时变量Ｙ的值也 趋于零，把ｙ＝—ｆ代人有ｌｉｍ到≠ｊ量＝Ｈｍ止上极 （下转第８５页） 科技信息 高校理科研究 通时的ＴＣＨ和ＳＤＣＣＨ的比例采用的是统一的规范，可以根据各个基 能够正常运行的情况下干扰最小。 ・ 站的不同情况加以调整。 （２）降低产生干扰基站的发射功率 （３）调整基站覆盖范围 通过测试或者话务统计确定产生了较强干扰的基站，可以降低该 通过调整基站覆盖范围可以达到调整话务量的效果，改变天线的 基站的发射功率来减小它对别的基靖的干扰，在此应该注意。不能一味 俯仰角或调整基站的发射功率都可以调整基站的覆盖范围，对于话务 地为了减少干扰而过分降低功率。降低功率要保证该小区内的手机可 量较高的地区，可以减小天线的仰角或降低基站的发射功率，从而达到以正常使用。在网络调整中我们也曾出现过基站功率过低而导致小区减小基站覆盖范围的目的。 中建筑物内信号较弱，手机无法正常使用的现象，在网络调整中我们要（４）修改切换参数 尽量避免此类发生；另外，要求基站还要可以覆盖网络规划中的覆盖范对于话务量较高的小区，我们可以检查看该小区的临近小区中有围。 无不忙的小区，如果有的话，可通过改变切换参数使得该小区可以分担（３）ｔｒｒｘ（非连续发送）的设置 较忙小区的话务量。例如，在网络中，手机需要接入网络时，其接收电平ＤＴＸ方式指用户在通话过程中，话音间歇期间系统不传送信号的必须大于一个门限电平。即手机允许接入的最小接收电平过程。此功能包括上行ｕｒｘ和下行ｉｙｒｘ。对于下行ＤＴＸ。若基站支持该（Ｐ，ＸＬＥＶ—ＡＣＣＥＳＳ—ＭＩＮ或简称ＲＸＡＭ），可以降低不忙小区的ＲＸＡＭ，选项，则建议使用该功能。对于上行Ｄ＇ｒｘ，根据实际情况而定，上行提高较忙小区的ＲＸＡＭ，使得手机可以比较轻松地切换人不忙小区的 ＩＹＩ＇Ｘ的使用有两点好处：一是有效地降低了无线信道的干扰；二是ｌｙｒｘ信道，而切入较忙小区的信道则比较困难，从而起到减轻较忙小区的话 的应用可以大大地节约移动台的功耗。 务压力的作用。 （４）跳频功能的使用 （５）增加微蜂窝 根据ＧＳＭ规范和理论分析表明，跳频可以改善空间的频谱环境。对于以上方法都解决不了而该地区话务量又高居不下。可以通过提高整个网络的通信质量，在运用跳频功能时。建议先在部分地区作实在该区域增加微蜂窝来解决。 验后再推广，我省网络中，跳频功能打开后，如果该基站传输断或停电， ２．干扰引起手机难打及其解决方案 基站重新启动后跳频并不会自动打开。所以每次在基站重新启动后都目前在城市中，基站的密度越来越大而供我们使用的频率却远远要人工打开其跳频功能。 不够，这样我们为了增加系统的容量采用了一种称之为频率复用的技在Ｈ常维护中，我们可以通过每个月的ＣＯＴ拨打测试了解各个地 术，但是，在这种技术中由于在不同基站的不同小区中重复使用了同一方的实际网络质量，并可以对重点地区进行针对性的了解；可以通过路 频率，从而会产生同频干扰；另外，在一个小区的临近小区中。可能存在测分析测试路线上各点的信令协议，了解网络的干扰情况；通过ＯＭＣ的与该小区工作频率相邻近的频率，这样的话将会产生另外一种干话务统计分析可以得到业务信道、控制信道的完好率、拥塞率等情况。扰——邻频干扰。这两种干扰对于手机的通话质量有着很大的影响，在这一切都给我们的网络优化提供了有效的指导，使我们的网络可以更好 网络中应该尽量将其减小。 地为用户服务。 在干扰比较严重的地区可以采用以下几种方法来减少干扰：（１）调整网络频率规划参考文献 由于规划不当可能会引起同邻频干扰。对于这一点，可以在尽量少【１］韩斌杰．（ＧＳＭ原理及其网络优化》．机械出版社，２００１年７月 地变动网络的前提下，调整部分基站部分小区的频率配置，使得网络在（上接第８２页） 限不存在，故二元函数的极限不存在。 ２、在函数的定义域内取两条不同的路径，若函数沿着这两条路径曲线ｙ＝ｋｆ趋于（０＇ｏ）时，函数的极限。热栅毒手２。！ｉ‰嚣＝吉Ｆ 趋于极限点时，极限存在但是不相等。则二元函数的极限不存在 这与ｋ的取值有关，因此，二元函数的极限不存在。 例２、证明：二元函数ｆ（ｘ，ｙ）＝享车当似ｙ）＿—０Ｄ＇ｏ）时极限不存在。 ３、利用二重极限和累次极限的关系判断二重极限不存在 ｘ十ｙ－ 若二元函数的两个累次极限存在但是不相等，则二元函数的二重 证明：在定义域内取ｙ＝２ｘ和ｙｆ３ｘ两条路径，满足似ｙ卜叩，０）。当沿极限不存在。例如已知上述例２的二重极限不存在，下面用两个累次极 路径ｙ＝２ｘ趋于原点时有极限ｌｉｍ雩二年＝ｌｉｍ雩！筹一｝；但是当沿限存在但不相等说明例２中的二重极限不存在。 晰卜帕冉ｒ＋ｙ－ｒ．０ ＸⅥ）广 ） 首先累次极限ｌｉｍ 路径ｙ＝３ｘ趋于原点时有极限ｌｉｍ薯ｊ；＝ｌｉｒａ雩＝罢宰一当。函数沿着 删Ｈｌｉｍ享年＝ｔｉｍ二孚一ｌ，其次ｌｉｍｘ－＋ｙ．…ｙ．“广帕ｒ叮” ｌｉｍ！；＝车＝ｌｉｒａ 札ｙ卜’ＨＬ田ｘ斗ｒ。—．ｕｘ‘＋ｖｙ－ ） 上述两条路径极限存在但是不相等。故二元函数在原点处的极限不存 姜＝１。二元函数的两个累次极限都存在但是不相等故二元函数的极限 ｒ 在。 不存在。 当二元函数沿着ｙ＝ｋｘ趋于极限点时求出的极限与ｋ的取值有关， 文中给出了几种常用的二元函数极限的求法，对于二元函数的极则二元函数的极限不存在（上面只是分别取ｋ＝２和ｋ＝３时的结论）。此限还有如：利用二重积分的定义、洛比达法则、无穷小代换、泰勒展开等 法对于判断有理函数的二重极限不存在一般来说是比较有效的，但是 方法闭。对于具体题目要注意对上面几种方法的综合运用。 也会遇到特殊情况：虽然沿任意直线方向函数趋于同一个常数，然而二元函数的极限仍可能不存在，这就要考虑其他方法：例如函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ 参考文献 ＪｘＥ—Ｙ＿。虽然当点Ｃｘ，ｙ）沿着任意直线ｙｆｋｘ（ｋ≠０）趋于（ｏ，ｏ）时的极限都存［１］吴赣昌．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２００６［２］马顺业．数学分析研究［Ｍ］．济南：山东大学出版社，１９９６ 在且都为Ｏ，但是仍不能说明此二元函数的极限存在。原因是当函数沿 （上接第８３页） 能上都有许多相似之处，两者氨基酸约８２％相同，且 分享相同的胞膜受体，并且大多数研究报道ＴＮＦａ基因态性与乙肝有密参考文献 切关联．国内对ＴＮＦ一８基因多态性与乙肝的相关性研究甚少。 ｄｏｎａｎｄｆｉｖｅｒｃｅｌｌ岫Ｉｌｒｙｉｎａｕｔｏｉｍｍｕｎｅｈｅｐａｄｔｉｓ【Ｊ】．ＩｍｍｔｍｏｌＲＥＶ，２００５： 群ＴＮｒｐ－８０４基因多态性与乙肝患者的相关性。结果表明：ｓＮＰ８０４多１７４：２５０—２５９． ． 态性位点Ｃ，ｃ基因型和Ｃ／Ａ＋ＡＡ基因型频率在病例组为７７％和２３％。【２］ＰｒｅｖｅｎｔｉｏｎａｎｄｔｒｅａｍｌｅｎｔｐｒｏｇｒａｍｏｆｔｈｅｖｉｒａｌｈｅｐａｔｉＣ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ正常对照组为８８％和１２％。两组间基因型和等位基因频率分布差异有ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓ，２００６，１９：５６—６２． 显著性（ｐ＜０．０５），慢性乙肝组的Ａ等位基因频率明显高于对照组，说明【３ＪＪｉａｌｌｇＳｈａｈ，）（ｉｅＱｉＩｌｇ．ｅｔａ１．ＴｈｅｒｅｌｅｖａｎｃｅｏｆｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｂｅｔｗｅｅｎＡ等位基因是新疆维吾尔族的易感基因。推测该位点单个核苷酸的改ｃｈｒｏｎｉｃｖｉｒａｌｈｅｐａｔｉｔｉｓａｎｄＨｕｍａｎＧｅｎｏｍｅ［Ｊ］．ＦｏｒｅｉｇｎＭｅｄｉｃａｌｅｐｉｄｅｔｍｏ— 变（ｃ—Ａ）可影响ＴＮＦ—Ｂ的产生，使带有Ａ等位基因的乙肝感染者在病ｌｏｇｉｃａｌｓｔｕｄｙｏｆｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓｄｉｓｅａｓｅｓｖｏｌｕｎｌｅｓ，２００２，２９：２６０—２６２． 毒等基因刺激下，易产生过高水平的血浆ＴＮＦ—Ｂ，导致过强的免疫应答［４］ＣｚａｊａＭＴ，ＷｅｉｎｅｅｒＦＲ．ＦｌａｎｄｅｎｓＫＳ．ｅｔａ１．Ｉｎｖｉｔｒｏａｎｄｉｎ ｖｉｖｏ狮一 及炎症反应，致肝细胞严重损伤甚至大量肝细胞坏死。最终导致慢性乙ｃｌａｒｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇｇｒｏｗｔｈｆａｃｔｏｒ－Ｂ １ ｗｉｔｈｈｅｐａｔｉｃ ｆｉｂｒｏｓｉｓ［ｊ］．ＪｃｅｎＢｉｏｌ， 型肝炎的发生。 １９８９，１０８：２４７７－２４８７． 乙肝是一种由遗传、机体免疫和环境因素共同作用所致的复杂的［５］林菊生，程元桥。田德英等．ＨＬＡＤＲＲ－１和肿瘤坏死因子仅基感染性疾病．关于ＴＮＦ—Ｂ基因多态性在肝炎的发生、发展中的作用还因多态性与肝硬化的遗传易感性［Ｊ］．中华内科杂志，２００２（１２）：８１８—８２１． 必须进一步的研究。为预防乙肝发展为肝硬化提供有利依据。 ～８５— 万方数据 二元函数极限的求法和极限不存在的判断 作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数： 唐新华 山东政法学院 科技信息 SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2009，""(18)0次 参考文献(2条) 1.吴赣昌高等数学20062.马顺业数学分析研究1996 相似文献(10条) 1.期刊论文郭俊杰.GUOJun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1) 二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理. 2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5) 讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法. 3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6) 讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系. 4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37) 二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法. 5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2) 本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系. 6.期刊论文樊红云.张宏民.FANHong-yun.ZHANGHong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3) 本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续. 7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明. 8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11) 本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异. 9.期刊论文邹泽民.ZhouZemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1) 给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理. 10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2) 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论. 本文链接： 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f 下载时间：2010年8月6日 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 浅谈二元函数极限不存在的判定 摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中的难点。本文对利用点的领域、路径、聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了一些规律。 关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径1.理论依据 1.1定义1：设f为定义在D⊂ℜ2上的二元函数,P0为D的一个聚点,A是一个确定的实数。若对任给的正数ε,总存在某正数δ,使得当P∈U0(P0;δ)D时,都有 f(P)-A<ε 则称f在D上当P→P0时,以A为极限,记作 limfP(=)A(1) p→p0p∈D 在对于P∈D不致产生误解时,也可简单地写作 'limfP(=)A(1) p→p0 当p,p0分别用坐标(x,y),(x0,y0)时,(1')式也常写作 (x,y)→(x0,y0) lim '')f(x,y)=A(1 1.2定义2：设函数z=的实数,如果 0<ρ= f(x,y)在D 0使, 内有定义,P0(x0,y0)是D内的点,A是一个确定 U0(δP,⊂)即D满足不等式 ： f(x,y) ∀ε>0,∃δ> ∈)得P(x,y δ 的一切点P,都有：|f(x.y)-A|<ε成立,则称A为z= ,也记作(x,y)lim →(x,y) 在P→ P0时的极限,记作limf(x,y)=A x→x0 y→y0 f(x,y)=A ,或者Plim →P f(P)=A 。 1.3定理1：limf(p)=A的充要条件是：对于D的任一子集E，只要p0是E的 p→p0p∈D 聚点，就有limf(p)=A。 p→p0p∈E f(P)不存在（包括非正常极限），1.4定理2：设E⊂D,P0是E的聚点，若Plim→P P∈E 则Plim→P P∈D f(P)也不存在。 1.5定理3：设D1,D2⊂D,P0是平面点集D1,D2,D的聚点,若存在极限 P→P0P∈D1 limf(P)=A1,limf(P)=A2 P→P0P∈D2 limf(P)不存在。,但A1≠A2,则P →P P∈D 1.6定理4：极限limf(p)存在的充要条件是：对于D中任一满足条件 p→p0p∈D pn≠p0，且limpn=p0的点列{pn}，它所对应的函数列{f(pn)} n→∞ 都收敛。 (x,y)依据定理2和定理3,可以选择沿一条特定的路径P(x,y)→P000，函数找茬法证明二元函数在某点不存在极限 f(x,y)的极限不存在(包括非正常极限)，其中路径可以是定义集合内一条通过点P0 的连续曲线，也可以是以点P0为极限的点列。 根据二元函数极限的几何意义，若函数f(x,y)在点p0(x0,y0)存在极限，则动点 P(x,y)沿任意一条曲线(或点列)无限趋近于点p0(x0,y0)时，函数f(x,y)都存在极限， 并且极限值是相同的。 选择沿两条不同的路径P(x,y)→P0(x0,y0),使得函数f(x,y)有不同的值。其中路径可以根据函数而确定为直线或者曲线。多数情况下,选择趋于点P0的不同直线(包括坐标轴)和特殊的曲线。 由此可知，我们可以通过下列两条途径来判定f(x,y)在点p0(x0,y0)的极限不存在： (1)沿一条特定的路径p(x,y)→p0(x0,y0)，函数f(x,y)的极限不存在。(2)沿两条不同的路径p(x,y)→p0(x0,y0)，函数f(x,y)的极限值不同。这样一来，判定极限不存在的关键就转化为寻找恰当的路径。下面，我们假定 (x0,y0)为原点O(0,0)，根据二元函数f(x,y)的结构特点，提出可供选取的路径。 2.对于以下两种函数结构，可选取直线路径y=kx，(k≠0)。2.1不恒为常数的零次齐次函数 不恒为常数的零次齐次函数,是指满足条件f(tx,ty)=f(x,y),且f(x,y)≡/C(C为常数)的函数f(x,y),。对于这类函数，由于当动点p(x,y)沿定义域内的直线y=kx 趋向于原点O(0,0)时，有lim x→0y=kx→0 f(x,y)=limf(x,kx)=f(1,k)=f(k) x→0 而上式f(x))因k不同而不同，所以f(k)≡函数f(x,y),当动点p(x,y)/C这表明，沿不同直线趋于原点O(0,0)时，极限值不同，所以极限不存在。 1 例1：验证f(x,y )= x2y 3 在点O(0,0)极限不存在。 x2+解：函数f(x,y)为不恒为常数的零次齐次函数，定义域D：{(x,y)|x≥0,y≥0,但x,y不同时为零}， 1 选取直线y= kx，有lim x→0 y=kx→0 f(x,y)=lim x2kx 3 x→0找茬法证明二元函数在某点不存在极限 = ，这说明，当动点 x2+ 沿直线y=kx趋向于原点时，由于k不同，函数f(x,y)将趋近于不同的常数，因而极限不存在。 另外曲线路径里面,比较典型的是沿着二次曲线路径使动点P趋于定点P0,使得函数解析式中出现无穷小的部分。对于满足 f(x,y)=F( ay-b(cx-d) 2 ) 的函数,讨论 db (x,y→)(, ca lim fx(y,的时候),可以考虑沿着路径：y= ) (cx-d)+b a 2 使动点P(x,y)趋于定点 P0(,)。 ca db lim例2：(x,y)→(2,1) (x-2)(y-1)3(x-2)+(y-1) 4 2 2 ,可以选择动点P(x,y)沿着曲线y=k(x-2) 2 +1趋于P0(2,1) ,此时 函数所趋于的常数值与k有关系,因而极限不存在。 2.2分子的次数不大于分母的次数的齐次有理分式函数对于有理分式函数 f(x,y)= P(x,y)Q(x,y) ，其中P(x,y),Q(x,y)分别是关于变量x,y的m次 f(x,y),可以选取动点和n次齐次多项式,而且m≤n,此时计算二元函数极限(x,ylim)→(0,0) P(x,y)沿着直线而趋O(0,0)时有： P(k)Q(K) x→0y=kx→0 lim f(x,y)=limxm-n⋅ x→0 = P(k)Q(K) ，此极限的值随k的变化而不同， P(k)Q(K) 当m x→0 m-n ⋅ P(k)Q(K) =lim 1x n-m x→0 ⋅ ，易知，在实数范围内至少存在一点 k0∈R ，使P(k0)≠0，Q(k0)≠0。于是当动点P(x,y)在定义域内，沿直线y=k0x趋向 P(k0)Q(k0) 于原点时，是非零常数。所以 x→0y=kx00→ limf x(,y=)lim x→0 1x n-m ⋅ P(k0)Q(k0) =∞ ，因而 limf x→0y→0 x(,y不存在。) 例3：验证lim x+yxy x→0 不存在。 解：函数f(x,y)= x+yxy 为齐次有理分式函数，分子P(x,y)=x+y是一次齐次函数, x+kxx⋅kx 11+kx k 符合m≤n的条件,选取路径y =kx 。,有limf(x,y)=lim x→0 x→0y=kx→0 ⋅=limx→0 ，取k0=2, 即当动点p(x,y)沿定义域内的直线y=2x趋向于O(0,0)时,有 lim f(x,y)=lim x→0 x+2xx⋅2x x x→0y=kx→0 =lim y 32x x→0 所以,函数f(x,y)在原点O(0,0)的极限不存在。 例4：验证lim e-e x→0y=0 sinxy 是否存在。 e-esinx e-e x xx 解：由limf(x,y)=lim x→0y=x x→0y=x 2 =0； 2x2 )limfx(y,=lim x→0 y=2x x→0y=2x sin2x =∞， 知lim e-e xy x→0y=0 sinxy 不存在。 m n 3.对于不恒为常数的广义零次齐次函数，可以选取曲线路径y=kx 不恒为常数的广义零次齐次函数，是指满足条件f(tmx,tmy)=f(x,y),(m>0,n>0)的函数f(x,y),对于这类函数,若令t=x m -1n ,则有f(x,y)=f(1,yx 于 原 点 - mn )当动点p(x,y) 沿 lim 曲线 y= n k - x(x>0) mn 趋 O(0,0) 时,有 x→0y=kx→0 f(x,y)=lim x→0y=kx→0 f(1,y⋅x 。显然当k改变时,f(k)不是一)=limf(1,k)=f(k)。 x→0 个常数。这表明f(x,y)在原点O(0,0)的极限不存在。 例5：讨论f(x,y)= xyx+y 2 2 当(x,y)→(0,0)时是否存在极限。 y=mx趋 解：当动点p(x,y)沿直线 f(x,y)=f(x,mx)= m1+m 2 于定点 (0,0) 时，由于此时 。 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同因而所讨论的极限不存在。 例6：验证lim x→0 y→0 xy2x+y xy2x+y找茬法证明二元函数在某点不存在极限 4 2 2 2 42 不存在。 的定义域D：{(x,y)|x∈R,y∈R,但x,y不同时为0}，其 lim xy2x+y 4 2 2 解：函数f(x,y)= 中m=2，n=1，取y=kx，有 2 2 x→02 y=kx→0 =lim x⋅kx 4 222 2 x→0 2x+(kx) = k2+k 2 ，其结果与k有 关，因而lim x→0 y→0 xy2x+y 4 2 不存在。 4.函数f(x,y)含有“x2+y2”，或f(x,y)为齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换⎨ ⎧x=rcosθ⎩y=rsinθ ，0≤r<+∞，-π<θ≤π，然后再根据相应的结构形式，选取 不同的路径。例7 ：验证limx→0 y→0 22 不存在。 2 2 ⎧x=rcosθ解：作坐标变换⎨ ⎩y=rsinθ ， 化为 r1+cosθ 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 2007年2月第26卷第1期 重庆文理学院学报(自然科学版) JournalofChongqingUniversityofArtsandSciences(NaturalScienceEdition) Feb1,2007Vol126No11 二元函数极限求法中一种误解的说明 王海萍 1,2 (1.重庆文理学院数学与计算机科学系,重庆永川402160;2.西南大学研究生院,重庆北碚400715) [摘要]排除了对一个重要极限在求二元函数极限应用中正确性的疑虑,并在此基础上把它 的结果推广到了含无理式的二元函数的极限运算上去.[关键词]定义域;重要极限;恒等式 [中图分类号]O17[文献标识码]A[文章编号-2007众所周知,重要极限lim .定义域及极限的 ,(本文以二元函数为例)极限的简易求解().这使初学者在二元函数极限求解中对用重要极限的求解方法产生疑虑,.1误解的提出 首先,我们引出二元函数极限的定义: [1] 定义1设函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是其聚点,如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于适合不等式 0<|PP0|= (x-x0)2+(y-y0)2<δ 的一切点都有|f(x,y)-A|<ε成立,则称A为函数z=f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限,记为: (x,y)→(x,y)找茬法证明二元函数在某点不存在极限 lim f(x,y)=A(或f(x,y)→A(ρ→0),这里ρ=|PP0|). 下面以实例说明.例1 [2] (x,y)→(0,0) lim 33 .22 x+y θ,y=ρ解:令x=ρcossinθ,则: (x,y)→(0,0) lim ρ(cos3θ+sin3θ)=0,22=limρ→0x+y 3333 2332= x+yx+y 33 从而 (x,y)→(0,0) lim 33 =22 x+y (x,y)→(0,0) lim (x,y)→(0,0) lim 3333 ・(lim0=0.3322=1・x,y)→(0,0)xx+y+y 有些人认为上述解法欠妥.原因如下: 根据定义分析,它的极限运算的第一个等号是有问题的.33 设f(x,y)=,定义域是D={(x,y)|(x,y)≠(0,0)},即去掉原点的实平面.22 x+y [收稿日期]2006-08-30 [作者简介]王海萍(1979-),男,江西萍乡人,助教,在读硕士研究生. 21 再设 3333 f1(x,y)=2332, x+yx+y 此时定义域为D1={(x,y)|(x,y)≠(0,0)且y≠-x}是去掉二、四象限平分线的两个半平面.显 然有D1 由二元函数极限的定义,易知:定义域范围小的成立并不能保证定义域范围大的也成立.因此,当),并不能保证P(x,y)∈U(0,δ)∩D时点P(x,y)∈U(0,δ)∩D1时都有f1(x,y)∈U(0,ε).由此可知这里有:必有f(x,y)∈U(0,ε [U(0,δ)∩D1]<[U(0,δ)∩D]. o o o o 故 (x,y)→(0,0) limf(x,y)= (x,y)→(0,0) lim 33 =22 x+y (x,y)→(0,0) lim 3333 2332x+y(,y)→(0,0) limf1(x,y) 不一定成立,即极限运算的第一个等号是有问题的.. [3] 例2求(lim. )() x,y→0,0 x 解:例3解: (x,y,0)[1] lim),0,0) (. xy = (x,y→0,0) lim)( xy ×(lim)( x,y→0,0) y=1×0=0. 求lim)( (x,y→0,2) )( x x (x,y→0,2) = (x,y→0,2) lim)( xy ・y= (x,y→0,2) lim)( xyx ×(lim)( x,y→0,2) y=1×2=2. 例2和例3是相似的,它们的解法欠妥.设g(x,y)= ,定义域是D={(x,y)|x≠0},是 去掉y轴的两个半平面.再设g1(x,y)=・y,此时定义域为D1={(x,y)|x≠0且y≠0},是去掉两个坐标轴的 xy 四个象限组成的点集.显然有D1 定义2恒等式:两个式子除已给的条件外,所含未知量用任意数代替(相同的假设前提下),等号两边的数值永远相等的式子. 例如: x+x 3 2 (或・(x+1)= x x+x 3 2 ・(x+1)≡),但并不恒等于1. x 定义3式子的恒等变形过程:多个(两个或两个以上)恒等式子用等号连成的连等式,这种从左到右的运算过程称为恒等变形过程. 例如:对函数式f(x)=解:f(x)= x+x 3 x+x 3 2 ・(x+1)(x≠0)进行恒等变形. 2 ・(x+1)==1. x 定义4数值式的相等:两个表示相同的某一数值的表达式相等. 22 例如:secx-tanx=1(虽然左式的x有限制,此时我们可认为在公共的取值范围内相等). 再如:limn=limn,(虽然在n取值相同时,nn,此时是因为它们表示的极限值相同,都 n→∞2n→∞323 是0).3误解的排除 产生这种误解的原因是:教材在编写中对二元函数的定义域分析用了较大篇幅,初学者对定义域不等的函数很敏感;初学者对二元函数极限的定义不够熟悉,对恒等和相等概念理解不够.22 下面对上述3例进行分析. 在前面3例中都是第一个等号使我们产生了疑虑.误认为极限符号后的表达式不是恒等变形就不能在极限式之间用等号连接,而实际不然. 333333 就例1来说,f(x,y)=与f1(x,y)=222332分别在各自的定义域 x+yx+yx+y D与D1内,当(x,y)→(0,0)时,可以证明极限都是存在的.证明如(1)与(2). 33 (1)以下是对f(x,y)=在定义域D={(x,y)|(x,y)≠(0,0)}内极限存在的证22 x+y 明. [4] 因为例1当(x,y)≠(0,0)时,有: 333322 0≤||≤2≤|x|2|x|+|y|→0.2222+|y|22≤ x+yx+yx+yx+y 33 所以由夹逼原则得(lim=0.22 x,y)→(0,0)x+y 3333 (2)对f1(x,y)=2-x}内3321(x,y)≠(0,0)且y≠ x+yxy 极限存在性,0. 3 既然f(x)在定义域D={(x,y)|(x,y)≠(0,0)}内极限存在,那么极限必2xy 然惟一.D内任找(x,y)→(0,0)的方式来计算出极限值.由D与D1的关系(D1 D1只比D少一条直线),知道在D1∩D=D1中两函数恒等.所以在求极限找(x,y)→(0,0)的方式 时,我们可以在D1(D1 333333 综上所述:虽然f(x,y)=222332=f1(x,y)(即f与f1不恒等), x+yx+yx+y 但是, (x,y)→(0,0) limf(x,y)= (x,y)→(0,0) lim 33=22 x+y (x,y)→(0,0) lim 3333 2332= x+yx+y (x,y)→(0,0) limf1(x,y) 是成立的. 就例2与例3来说,g(x,y)= x 与g1(x,y)= xy ・y,当(x,y)→(0,0)时,极限也都是 存在的.同样,后者的定义域只比前者的定义域少一条直线,在公共部分它们恒等.与例1中极限存在 的证明类似,所以同理可得: lim=lim・y,lim=lim・y.()()()()()()()() x,y→0,0 x x,y→0,0 xy x,y→0,2 x x,y→0,2 xy 4推广到求有关含无理式的二元函数的极限 由上可知,在极限的运算中,极限符号后的函数仅仅缩小了有限条直线范围的定义域时,两函数 的极限相等.类似的极限符号后的函数仅仅缩小(或扩张)了有限条曲线范围的定义域时,两函数的极限相等. 例4(lim)(解: (x,y→0,0) x,y→0,0) 2-xy+4 lim)( 2-xy+4 = (x,y→0,0) lim)( 2- xy+42+ xy+4 = (x,y)→(0,0) lim[-(2+xy+4)]=-4. 此例中极限符号后的函数仅仅扩大了有限条曲线范围的定义域. 3 例5(lim x,y)→(1,1) y-x 23 解: (x,y→1,1) lim)( 3 y-x = (x,y→1,1) lim)( 3 y-x +x = (x,y)→(1,1) limx・(y+x)=2. [参考文献] [1]同济大学应用数学系.高等数学(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:人民教育出版社,1980.[3]张绪绪,郝军.应用数学基础[M].西安:西安电子科技大学出版社,2000. [4]杨熙鹏,邵子逊,刘颖植.数学分析习题解析[M].西安:陕西师范大学出版社,1993. AnExplanationforaMisunderstandinginGettingtheLimitofDualityFunction WANGHai-ping 1,2 (1.Dept.ofMathematics&puterScience,ChongqingUniversityofArtsandSciences,Yongchuan402160,China; 2.PostgraduateSchool,SouthwestUniversity,Abstract:Thisarticleeliminatedadoubtwhenanimportantislimitofdualityfunction.Thispapergaveapositiveanswerandalsoaingettingthelimitofdualityfunction.StandingontheofthemethodofgettingthelimitofdualityfunctioninofKeywordsimfunctionlimit;identicalequation (上接第20页) [参考文献] [1]华东师范大学数学系.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2001. [2]孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法[M].长沙:湖南科学技术出版社,1981.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.[4]吴良森,毛羽辉,等.数学分析习题精解[M].北京:科学出版社,2002. LogarithmetiriteriaforAbnormalIntegralandInfiniteSeries MAOYi-bo (Dept.ofMathematicsandputerScience,ChongqingUniversityofArtsandSciences,YongchuanChongqing402160,China) Abstract:Thispapergavelogarithmetiriteriaforabnormalintegralandinfiniteseriesthroughparisoncriteria. Keywords:Infiniteintegral;Defectiveintegral;Infiniteseries;Logarithmetiriteria 24 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 第3周习题课准备 （内容：极限、偏导数、微分、复合函数微分法） 1．求极限ln(x2+ey)22①lim；②lim(x−y)lnx+y；22x→0x→0x+yy→0y→0 x|⋅|y|p ③lim；④lim；22x→0x→0|x|+|y|x+y+1−1y→0y→02xy ⑤lim(x+y)ex→+∞y→+∞24−(x+y)；⑥lim(x→∞y→∞xyy2)．22x+y 提示：二元函数limf(x,y)求极限的常用思路（计算题不必用ε−δ方法验证）．x→x0y→y0 （1）先考察limf(x,y)是否存在．如果发现沿不同的路径（例如当(x,y)沿不同射线）x→x0y→y0 趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于不同的值，则极限不存在． （2）如果极限存在，可以利用一元函数求极限的技巧求二元函数的极限． （3）有些需要做放大或缩小处理，然后观察是否存在极限． 2．计算偏导数 ∂2u∂∂u∂2u∂∂u=(=?以及=()=?（１）u=x，求∂x∂y∂x∂y∂y∂x∂y∂xyz ∂2u∂∂uy∂2u∂∂u∂2u∂2u（２）u=arctan，求2+2，其中2=()，2=(∂x∂xx∂y∂y∂x∂y∂x∂y ３．设f(x,y)=|x−y|ϕ(x,y)，其中ϕ(x,y)在原点O(0,0)连续．求证f(x,y)在原点可微的充分必要条件是：ϕ(0,0)=0． 提示：按照定义计算fx′(0,0)和fy′(0,0)，注意二者与全微分的关系。 ⎧x−sinx,(x,y)≠(0,0)⎪，证明f(x,y)在(0,0)点可微，并求df(0,0)．４．设f(x,y)=⎨|x|+2|y|⎪0,(x,y)=(0,0)⎩ 提示：研究f(x,y)在点(x0,y0)是否可微的思路： （１）考察两个偏导数fx′(x0,y0)和fy′(x0,y0)是否都存在； （２）若存在，分别记为a,b，考察是否有 (Δx,Δy)→(0,0)limf(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)−aΔx−bΔy(Δx)+(Δy)22=0． 5．设z=f(x,y)在点(a,a)可微,f(a,a)=a, 令ϕ(x)=f(x,f(x,f(x,x))),求∂f∂x(a,a)=b,∂f∂y(a,a)=b.d2ϕ(x)dxx=a． 提示：用f1′(u,v)和f2′(u,v)分别表示函数f(u,v)对于第一个变量和第二个变量的偏导数， 注意理清函数的复合关系. 6．设函数f(x,y)在点(x0,y0)可微，已知方向向量u=(1,−1),v=(−1,2)和方向导数 ∂f(x0,y0)=−2,∂u 求df(x0,y0)。 提示：考虑方向导数与偏导数的关系。 ∂f(x0,y0)=1，∂v ∂2z∂∂z∂∂z（=(=()）。7．设z=f(x+y,xy)，且函数f的二阶偏导数连续，求∂x∂y∂x∂y∂y∂x 提示：求复合函数的偏导数时，首先要将函数的复合结构分析清楚，找出变量之间的关系，然 后利用复合函数的链式法则进行求导。在求二阶偏导数时，应特别注意复合函数的一阶导数仍然还是复合函数，对其求导时仍要利用链式法则。 x∂2z.8.设z=f(xy,)，f二阶连续可微，求2y∂x 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 找茬法证明二元函数在某点不存在极限 龙源期刊网. 关于一个重要极限的两种证明方法 作者：程国 来源：《科技视界》2015年第04期 TwoMethodsofProofAboutanImportantLimit CHENGGuo （DepartmentofMathematicsandputerScience，ShangluoUniversity，ShangluoShaanxi726000，China） 0引言 极限是高等数学中的基本概念，它贯穿于微积分始终，是研究数学问题的一个重要工具。在极限理论的学习中，是一类重要的极限。关于该极限存在性的证明是一个教学难点。证明的基本思想是利用单调有界定理，即“单调有界数列比收敛”。最常见的证明思路[1-2]是将数列按二项式定理展开，证明数列{xn}单调递增有上界，再根据单调有界定理极限存在。但实际教学中，学生往往感觉这样的证明比较抽象，过程不简洁，难以理解。不少学者对此进行了研究。崔德旺[3]等利用几何均值不等式给出了存在性的一种简洁证法。杨华[4]从连续性和导数定义的角度给出了重要极限的证明方法。本文给出对极限存在性的两种简洁证法。 1预备知识 [1]同济大学数学系，编.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：52-53. [2]华东师范大学数学系，编.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2006：56-57.